不变性, 吸引子/域和极坐标

不变性(invariance set)

不变性分为不变集(invariant set)和对称不变性(symmetry)

不变域

如果 $(x(t_0),y(t_0))$ 在不变域 $S$ 中, 那么对于任意的 $t$ , 都有 $(x(t),y(t))\in S$ . 而不变域实际上是轨迹的集合. 对于特征值为纯虚数的平衡点centre, 每一个闭合的轨迹都是不变域.

一般来说, 不变域的描述是 $S=\{(x,y)|G(x,y)=0\}$ . 在这个域上, 函数 $G$ 为一个常值, 即他对于 $t$ 的导数值为0. 就是 $\cfrac{dG}{dt}=\cfrac{\partial G}{\partial x}\dot{x}+\cfrac{\partial G}{\partial y}\dot{y}=0$ .

对称不变性

对于方程 $\dot{x}=f(x,y),\dot{y}=g(x,y)$ . 如果有映射 $\tilde{x}=a(x,y,t),\tilde{y}=b(x,y,t),\tilde{t}=c(x,y,t)$ 能使得 $\dot{\tilde{x}}=f(\tilde{x},\tilde{y}),\dot{\tilde{y}}=g(\tilde{x},\tilde{y})$ , 那么就称 $x\to a(x,y,t),y\to b(x,y,t),t\to c(x,y,t)$ 为系统的一个symmetry.

例如, 对于系统 $\dot{x}=\sin y,\dot{y}=\sin x$ , 不难发现 $y\to -y,t\to-t$ 和 $x\to y,y\to x$ 是两对symmetry. 同时, 由于方程组的对称性, 还存在一个不变域 $E=\cos y-\cos x$ , 其导数为 $-\dot{y}sin y+\dot{x}\sin x=-\dot{y}\dot{x}+\dot{x}\dot{y}=0$ .

同时, 一个具有对称不变性的系统可能会存在非线性中心(nonlinear centres)和异宿轨道(heteroclinic trajectories), 具体图像如下

吸引子(attractor) 和吸引域(Basin of attraction)

吸引子是是动力系统中所有邻近轨道都趋向收敛的不变集合. 且这个不变域要足够小, 使得其中有且只能有一个吸引子.

每个吸引域对应一个吸引子. 任何以吸引域内的点作为初始值的 $(x,y)$ 都最终会在 $t\to\infty$ 时趋于该吸引子. 如图所示

极坐标

对于方程组 $\dot{x}=f(x,y),\dot{y}=g(x,y)$ , 假设 $x(t)=r(t)\cos\theta(t),y(t)=r(t)\sin\theta(t)$ . 就有 $r^2(t)=x^2(t)+y^2(t)$ . 于是可以得出 $\dot{r}=\cfrac{x\dot{x}+y\dot{y}}{r}$ . 对于 $x(t)=r(t)\cos\theta(t)$ , 有 $\dot{x}=\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta=\cfrac{x\dot{x}+y\dot{y}}{r}\cdot\cfrac{x}{r}-\dot{\theta}y$ . 于是 $r^2\dot{x}=(x\dot{x}+y\dot{y})x-r^2\dot{\theta}y$ . 由于 $r^2(t)=x^2(t)+y^2(t)$ , 所以 $(x^2+y^2)\dot{x}=(x\dot{x}+y\dot{y})x-r^2\dot{\theta}y$ . 仅需化简一下, 就有 $r^2\dot{\theta}y=x^2\dot{x}+xy\dot{y}-x^2\dot{x}-y^2\dot{x}=y(x\dot{y}-y\dot{x})$ . 于是 $\dot{\theta}=\cfrac{x\dot{y}-y\dot{x}}{r^2}$ .

仅需记住 $\dot{r}=\cfrac{x\dot{x}+y\dot{y}}{r}$ 和 $\dot{\theta}=\cfrac{x\dot{y}-y\dot{x}}{r^2}$ 即可. 如果 $\dot{r}>0$ , 那么节点不稳定, 反之则稳定. 如果 $\dot{\theta}>0$ , 那么轨迹的方向就是逆时针(角度增大).