保守系统

守恒量: 如果函数$E(x,y)$在所有的轨迹上恒为常数, 即$\cfrac{dE}{dt}=0$. 那么$E$就称为守恒量.

拥有守恒量的系统被称为守恒系统.

那么怎么找到守恒量的表达式呢?

对于一阶线性微分自治方程组来说, 对于每个轨迹, 我们都有$\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{g(x,y)}{f(x,y)}$. 如果这个式子是可分离的, 即$\cfrac{g(x,y)}{f(x,y)}=A(x)B(y)$, 那么我们就有$\cfrac{dy}{dx}=A(x)B(y)$. 于是$\int\cfrac{1}{B(y)}dy=\int A(x)dx+C$. 那么$\int\cfrac{1}{B(y)}dy-\int A(x)dx$就是守恒量.

保守系统仅有鞍点和中心. 没有吸引子和排斥子(轨迹上的点距离该点越来越远, $t\to+\infty$时距离为无穷).

同宿轨道Homoclinic orbit, 指$t\to-\infty$时从平衡点$x^*$出发, $t\to\infty$时回到同一平衡点$x^*$的轨迹.

异宿轨道Heteroclinic trajectory: 指$t\to-\infty$时从平衡点$x_1$出发, $t\to\infty$时回到另一个平衡点$x_2$的轨迹