差分方程

求解过程的书写

Look for solutions of the homogeneous equation of the form $x_n=\lambda^n$ to see that (代入后差分方程的样子) so that (求解结果). The complementary solution is therefore (齐次方程的解). For the particular solution, look for a solution of the form (猜的特解) to see that (代入特解后的原始方程).

求解后将特解与齐次方程的解相加即可.

不动点是否稳定的问题

对于 $x^*=f(x^*)$. 如果 $|f'(x^*)|<1$, 那么平衡点稳定. >1 则平衡点不稳定.

以下是logistics在$r=2$(稳定)和$r=3$(非稳定)下的$x_n$图像.

不动点attracting(吸引子不动点)

在平衡点的邻域内的$x_0$, 有$x_n$的极限趋于不动点, 那么不动点就叫an attracting fixed point. 简单来说, 就是在邻域内的任何初始值, 最后都会被吸引到不动点上面去.

猜特解

$f(x)$	$x_n$
$Ck^n$	$ck^n$
$C_mn^m+\ldots+C_1n+C_0$	$c_mn^m+\ldots+c_1n+c_0$

如果方程的最高次项的系数相加等于0, 那么猜的解就要多一个次项, 如$x_{n+2}-4x_{n+1}+3x_n=36n^2$, 就需要猜特解$x_n=an^3+bn^2+cn+d$. 而不是最高次项$n^2$.

但是在这里, 因为$x_n$的齐次解中含有$A(x=1)$, 所以特解中的常数项可以去掉, 因为与$A$重复了.

$\lambda$与解

仅有一个特征根时, 用$n\lambda^n$作为解空间的另一个基

特征根为复数时, 写为e的形式, 化成解时变成三角函数形式. 如对于$\lambda=\mu\pm \omega i$, 需要将其写成$\lambda=re^{\pm i\theta}$, 其中$r^2=\mu^2+\omega^2$. 解为$x_n=r^n(A\cos (n\theta)+B\sin (n\theta))$.